Ingeniería sismorresistente · Nivel básico

Siete ejercicios cortos de vibraciones de un grado de libertad

Enunciado

Resuelve cada mini-ejercicio con las fórmulas de vibración de un grado de libertad. Trabaja con la calculadora en radianes.

Paso 1. Ejercicio 21.1: vibración libre no amortiguada

Datos: K = 10 000 ton/m, M = 2,5 ton·s²/m, x₀ = 4 cm, v₀ = 150 cm/s.

ω_n = √(K/M) = √(10 000 / 2,5) = 63,2456 rad/s · T = 2π / ω_n = 0,09935 s

X = √(x₀² + (v₀/ω_n)²) = √(4² + (150/63,2456)²) = √(16 + 5,6250) = 4,6503 cm

La respuesta puede escribirse como x(t) = x₀ cos ω_nt + (v₀/ω_n) sen ω_nt = X cos(ω_nt − θ), con:

θ = arctan(v₀ / (x₀ ω_n)) = arctan(0,5929) = 0,5352 rad

x(0,005) = 4 cos(0,3162) + 2,3717 sen(0,3162) = 4,5392 cm

Paso 2. Ejercicio 21.2: vibración libre con velocidad inicial nula

Datos: ω_n = 43,5 rad/s, x₀ = 2 cm, v₀ = 0.

T = 2π / 43,5 = 0,1444 s

Con v₀ = 0 la respuesta se reduce a x(t) = x₀ cos ω_nt:

x(0,075) = 2 cos(43,5 × 0,075) = 2 cos(3,2625 rad) = −1,9854 cm

En t = 0,075 s ha pasado algo más de medio periodo, por eso la masa está casi en el extremo opuesto al de partida.

Paso 3. Ejercicio 21.3: amplitud y fase en vibración libre

Datos: u₀ = 1 cm, v₀ = 20 cm/s, ω_n = 28,6655 rad/s.

T = 2π / 28,6655 = 0,2192 s

U₀ = √(1² + (20/28,6655)²) = √(1 + 0,4868) = 1,2193 cm

Escribiendo la respuesta como u(t) = U₀ sen(ω_nt + φ):

φ = arctan(u₀ ω_n / v₀) = arctan(1,4333) = 0,9616 rad

Paso 4. Ejercicio 21.4: vibración libre amortiguada

Datos: u₀ = 1 cm, v₀ = 40 cm/s, ζ = 0,05, ω_n = 6,283 rad/s.

ω_D = ω_n √(1 − ζ²) = 6,283 × √(1 − 0,05²) = 6,2751 rad/s · T_D = 2π / ω_D = 1,0013 s

u(t) = e^−ζω_nt [u₀ cos ω_Dt + (v₀ + ζω_nu₀)/ω_D · sen ω_Dt]

(v₀ + ζω_nu₀)/ω_D = (40 + 0,3142) / 6,2751 = 6,4244

u(0,2) = e^−0,06283 [cos(1,2550) + 6,4244 sen(1,2550)] = 6,0265 cm

Paso 5. Ejercicio 21.5: vibración forzada amortiguada

Datos: P₀ = 2000 kg, k = 10 000 kg/cm, Ω = 25 rad/s, r = 0,8, ζ = 0,05.

ω_n = Ω / r = 25 / 0,8 = 31,25 rad/s · m = k / ω_n² = 10 000 / 976,56 = 10,240 kg·s²/cm

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] = 1 / √[(1 − 0,64)² + (2 × 0,05 × 0,8)²] = 1 / √(0,1296 + 0,0064) = 2,7116

u_est = P₀ / k = 2000 / 10 000 = 0,20 cm → u_máx = u_est · R_d = 0,5423 cm

Paso 6. Ejercicio 21.6: factor de amplificación dinámica

Datos: K = 3648,91 ton/m, ω_n = 28,6655 rad/s, F₀ = 0,5 ton, Ω = 35 rad/s, ζ = 0,05.

m = K / ω_n² = 3648,91 / 821,712 = 4,4406 ton·s²/m · r = Ω / ω_n = 35 / 28,6655 = 1,2210

1 − r² = −0,4908 · 2ζr = 0,1221 → FAD = 1 / √(0,2409 + 0,01491) = 1,9773

u_est = F₀ / K = 0,5 / 3648,91 = 0,000137 m = 0,0137 cm → u_máx = 0,0137 × 1,9773 = 0,0271 cm

Paso 7. Ejercicio 21.7: vibración forzada no amortiguada

Datos: K = 1157,41 kg/cm, ω_n = 5 rad/s, F₀ = 500 kg, Ω = 9,42 rad/s, u₀ = v₀ = 0.

u_est = F₀ / K = 500 / 1157,41 = 0,432 cm · r = 9,42 / 5 = 1,884

Amplitud estacionaria = u_est / (1 − r²) = 0,432 / (1 − 3,5495) = −0,1694 cm

El signo negativo indica que, con Ω > ω_n (r > 1), la respuesta está en contrafase con la fuerza. Con condiciones iniciales nulas, la respuesta total es:

u(t) = [u_est / (1 − r²)] · (sen Ωt − r sen ω_nt)

Errores comunes

• Evaluar senos y cosenos con la calculadora en grados: ω_nt está en radianes (en 21.2, 3,2625 rad).
• Olvidar el término ζω_nu₀ en el coeficiente del seno de la vibración libre amortiguada.
• Mezclar unidades al pasar del desplazamiento estático al dinámico: en 21.6, F₀/K sale en metros y hay que convertirlo a centímetros.

Bibliografía de consulta

• Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
• Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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