Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Tanque elevado sometido a una aceleración armónica en la base

Enunciado

Un tanque elevado lleno (1000 m³) tiene un peso, sumado al de la estructura contenedora, W = 1100 ton, concentrado a H = 30 m. La estructura de soporte es una columna tubular de diámetro exterior D_e = 6,0 m y espesor t = 0,25 m; ignora su peso. f'c = 210 kg/cm². Por el paso de un tren cercano, la cimentación tiene una aceleración armónica (seno) de amplitud 0,1 g y frecuencia 35 cps. Considera ζ = 5 %.

Calcula: a) el periodo de vibración; b) la amplitud permanente de vibración; c) la fuerza cortante máxima y el momento flector máximo en la estructura de soporte; d) los diagramas de momento flector (DMF) y de fuerza cortante (DFC) dinámicos.

Tanque de peso W sobre una columna de altura H con desplazamiento u(t) arriba y aceleración del suelo üg(t) en la base; corte A-A de la sección tubular con diámetro exterior De y espesor t — Figura 1. Tanque elevado y sección de la columna de soporte.

Paso 1. Masa, inercia y rigidez

m = W / g = 1100 / 9,81 = 112,130 ton·s²/m

La sección es un anillo con diámetro interior d_int = 6,0 − 2 × 0,25 = 5,50 m:

I = π (6,0⁴ − 5,5⁴) / 64 = π (1296 − 915,06) / 64 = 18,699 m⁴

EI = 2 173 706,5 × 18,699 = 40 646 629 ton·m²

La columna está empotrada en la base y libre arriba, así que trabaja como voladizo:

K = 3EI / H³ = 3 × 40 646 629 / 30³ = 4516,29 ton/m

Paso 2. Periodo

ω_n = √(4516,29 / 112,130) = 6,3464 rad/s → T = 0,9900 s (f = 1,010 Hz)

Paso 3. Amplitud permanente

Una aceleración armónica en la base equivale a una fuerza efectiva P₀ = m · a₀ aplicada en la masa:

a₀ = 0,1 × 9,81 = 0,981 m/s² → P₀ = 112,130 × 0,981 = 110,00 ton

Ω = 2π × 35 = 219,91 rad/s → r = Ω / ω_n = 34,651

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] = 0,000834

u_máx = (P₀ / K) · R_d = (110,00 / 4516,29) × 0,000834 = 0,02436 × 0,000834 = 0,0203 mm

La excitación es muchísimo más rápida que la estructura (r ≫ 1): la masa casi no alcanza a seguir el movimiento del suelo y la deformación relativa es muy pequeña.

Paso 4. Cortante y momento máximos

V_máx = K · u_máx = 4516,29 × 0,0000203 = 0,0917 ton

M_máx = V · H = 0,0917 × 30 = 2,751 ton·m (en la base)

Paso 5. Diagramas dinámicos

DFC: constante, V = 0,0917 ton en toda la altura de la columna.
DMF: lineal, 0 en el nivel de W y 2,751 ton·m en la base.

Resultado

Masa m = 112,13 ton·s²/m; I = 18,699 m⁴; K = 4516,3 ton/m
Periodo: T = 0,990 s
Amplitud permanente: u_máx = 0,0203 mm (R_d = 0,000834)
Cortante máximo: V = 0,0917 ton
Momento máximo en la base: M = 2,75 ton·m

Errores comunes

Usar la frecuencia en cps como si fuera rad/s: Ω = 2π × 35 = 219,91 rad/s.
Calcular la inercia como sección maciza: la columna es tubular, I = π (D_e⁴ − d_int⁴)/64.
Tomar P₀ = W · 0,1 en kg y la rigidez en ton/m: conviene trabajar todo en ton y m (P₀ = m · a₀ = 110 ton).

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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