Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Rigidez equivalente de barras axiales en serie y en paralelo

Enunciado

El sistema de la figura está formado por cuatro barras de acero (E = 2 000 000 kg/cm²) que sostienen una masa m = 15,96 kg·s²/cm. Barra 1: A = 10 cm², L = 120 cm; barra 2: A = 25 cm², L = 90 cm; barra 3: A = 20 cm², L = 90 cm; barra 4: A = 15 cm², L = 210 cm. Las barras 2 y 3 cuelgan de la barra 1 mediante una placa rígida; la barra 4 trabaja en paralelo con el conjunto 1-2-3.

Determina: a) la rigidez axial de cada barra, k = EA/L; b) la rigidez equivalente del sistema, identificando qué barras están en serie y cuáles en paralelo; c) la ecuación de movimiento en vibración libre sin amortiguamiento; d) la frecuencia natural ω_n, el periodo T_n y la frecuencia f_n.

Barra 1 de 10 cm² y 1,20 m colgada del techo sostiene una placa de la que cuelgan las barras 2 (25 cm²) y 3 (20 cm²) de 0,90 m; la barra 4 de 15 cm² baja desde el techo hasta la placa inferior que sostiene la masa m — Figura 1. Sistema de cuatro barras axiales que sostienen la masa m.

Paso 1. Rigidez axial de cada barra

Una barra cargada axialmente se comporta como un resorte de rigidez k = EA/L:

Barra	Cálculo (E × A / L)	k (kg/cm)
1	`2 000 000 × 10 / 120`	166 666,67
2	`2 000 000 × 25 / 90`	555 555,56
3	`2 000 000 × 20 / 90`	444 444,44
4	`2 000 000 × 15 / 210`	142 857,14

Paso 2. Barras 2 y 3 en paralelo

Las barras 2 y 3 unen las mismas dos placas rígidas, así que tienen la misma deformación y la fuerza se reparte entre ellas: están en paralelo y sus rigideces se suman.

k_2-3 = k₂ + k₃ = 555 555,56 + 444 444,44 = 1 000 000,00 kg/cm

Paso 3. Barra 1 en serie con el conjunto 2-3

Toda la fuerza que toma el conjunto 2-3 pasa también por la barra 1, y el desplazamiento de la masa es la suma de los alargamientos: están en serie.

k_1-2-3 = 1 / (1/k₁ + 1/k_2-3) = 1 / (1/166 666,67 + 1/1 000 000) = 142 857,14 kg/cm

Paso 4. Barra 4 en paralelo con el conjunto 1-2-3

La barra 4 va del techo a la placa que sostiene la masa, igual que el conjunto 1-2-3: ambos tienen el mismo desplazamiento total y están en paralelo.

k_eq = k_1-2-3 + k₄ = 142 857,14 + 142 857,14 = 285 714,29 kg/cm

Paso 5. Ecuación de movimiento

En vibración libre sin amortiguamiento:

m ü + k_eq u = 0 → 15,96 ü + 285 714,29 u = 0 (m en kg·s²/cm, k en kg/cm)

Paso 6. Frecuencia natural, periodo y frecuencia

ω_n = √(k_eq / m) = √(285 714,29 / 15,96) = 133,798 rad/s

T_n = 2π / ω_n = 0,0470 s · f_n = 1 / T_n = 21,29 Hz

Resultado

Rigideces: k₁ = 166 666,67; k₂ = 555 555,56; k₃ = 444 444,44; k₄ = 142 857,14 kg/cm
Rigidez equivalente: k_eq = 285 714,29 kg/cm
Ecuación de movimiento: 15,96 ü + 285 714,29 u = 0
ω_n = 133,80 rad/s; T_n = 0,0470 s; f_n = 21,29 Hz

Errores comunes

Confundir las reglas: en paralelo se suman las rigideces; en serie se suman los inversos de las rigideces.
Tomar las barras 2 y 3 en serie porque están dibujadas una al lado de la otra debajo de la barra 1: lo que decide es si comparten la misma deformación (paralelo) o la misma fuerza (serie).
Usar para la barra 4 una longitud de 120 o 90 cm: va del techo a la placa inferior, L = 210 cm.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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