Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Rigidez lateral de columnas rectangulares y circulares en X e Y

Enunciado

Estructura de un nivel con 12 columnas de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) y vigas peraltadas muy rígidas: 4 columnas C1 de 0,90 × 0,30 m (ancho en X × ancho en Y), 2 columnas C2 de 0,30 × 0,60 m y 6 columnas C3 circulares de Ø 0,60 m. Luces A = 5,00 m (3 vanos en X) y B = 4,00 m (2 vanos en Y); altura h = 3,50 m; peso total W = 120 ton. Considera las columnas empotradas en ambos extremos (K = 12EI/h³).

Calcula: a) la masa del sistema; b) la rigidez de cada tipo de columna (C1, C2 y C3) en las direcciones X e Y; c) los periodos T_X y T_Y, e indica en qué dirección es más flexible la estructura.

Planta con 3 vanos de 5,00 m en X y 2 vanos de 4,00 m en Y: columnas C1 de 0,90 × 0,30 en las esquinas, C2 de 0,30 × 0,60 en los bordes laterales y 6 columnas circulares C3 de Ø 0,60 en los dos ejes intermedios — Figura 1. Planta y secciones de las columnas C1, C2 y C3.

Paso 1. Masa y módulo de elasticidad

m = W / g = 120 / 9,81 = 12,2324 ton·s²/m

E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²

Paso 2. Inercias de cada columna

Al cargar en X, la columna flexiona con su dimensión paralela a X como peralte: I_X = (ancho en Y)·(ancho en X)³/12. En Y se intercambian las dimensiones.

Columna	I_X (m⁴)	I_Y (m⁴)
C1 (0,90 × 0,30)	0,30 × 0,90³/12 = 0,018225	0,90 × 0,30³/12 = 0,002025
C2 (0,30 × 0,60)	0,60 × 0,30³/12 = 0,001350	0,30 × 0,60³/12 = 0,005400
C3 (Ø 0,60)	π × 0,60⁴/64 = 0,006362	0,006362

Paso 3. Rigidez por tipo de columna

Con vigas muy rígidas, cada columna aporta K = 12EI/h³, y las columnas de la planta trabajan en paralelo:

12E / h³ = 12 × 2 173 706,5 / 3,50³ = 608 384,33 ton/m⁵

Tipo	Cálculo en X	K en X (ton/m)	Cálculo en Y	K en Y (ton/m)
C1	`608 384,33 × 4 × 0,018225`	44 351,22	`608 384,33 × 4 × 0,002025`	4927,91
C2	`608 384,33 × 2 × 0,001350`	1642,64	`608 384,33 × 2 × 0,005400`	6570,55
C3	`608 384,33 × 6 × 0,006362`	23 222,24	`608 384,33 × 6 × 0,006362`	23 222,24
K_X		69 216,10	K_Y	34 720,71

Paso 4. Periodos en X e Y

ω_X = √(69 216,10 / 12,2324) = 75,222 rad/s → T_X = 2π / ω_X = 0,0835 s

ω_Y = √(34 720,71 / 12,2324) = 53,277 rad/s → T_Y = 2π / ω_Y = 0,1179 s

La estructura es más flexible en Y: K_Y ≈ 0,50 K_X y su periodo es mayor, porque las columnas C1, que son las que más aportan, tienen su lado largo en X.

Resultado

Masa: m = 12,232 ton·s²/m
Rigidez en X: C1 = 44 351,22; C2 = 1642,64; C3 = 23 222,24 → K_X = 69 216 ton/m
Rigidez en Y: C1 = 4927,91; C2 = 6570,55; C3 = 23 222,24 → K_Y = 34 721 ton/m
Periodos: T_X = 0,0835 s y T_Y = 0,1179 s; la dirección más flexible es Y

Errores comunes

Intercambiar las inercias: para el sismo en X el peralte es la dimensión paralela a X (0,90 m en la C1), no la perpendicular.
Usar 3EI/h³ (voladizo): con vigas muy rígidas la columna está empotrada en ambos extremos y K = 12EI/h³.
Calcular una inercia distinta en X y en Y para la columna circular: su inercia es la misma en cualquier dirección.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.

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