Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Pórtico con motor: respuesta a una fuerza armónica en X e Y

Enunciado

Estructura aporticada de concreto armado de 1 nivel (f'c = 210 kg/cm²) con altura de piso de 3,00 m. Columnas de 0,30 × 0,45 m (0,30 m en X y 0,45 m en Y). Vigas en X de 0,30 × 0,20 m y vigas en Y de 0,30 × 0,50 m. Ejes: 3,70 + 3,70 m en X y 4,20 m en Y (dimensiones totales 7,70 × 4,65 m). Losa aligerada de t = 0,20 m (300 kg/m²), tabiquería aislada, piso terminado 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (25 % en el peso sísmico). Un motor produce P(t) = 10 000·sen(20t) kg a nivel de la losa; ζ = 5 %.

Calcula:

a) El periodo en la dirección X.
b) El periodo en la dirección Y.
c) El desplazamiento dinámico máximo si la fuerza actúa en X.
d) El desplazamiento dinámico máximo si actúa en Y.
e) El cortante y el momento flector máximos en las columnas si actúa en Y.
f) ¿En qué dirección conviene que actúe la fuerza armónica? ¿Por qué?
g) Si EI_v = ∞, determina a) y b).

Planta de 7,70 m con ejes 1, 2, 3 cada 3,70 m y ejes A y B a 4,20 m, vigas de 0,30 × 0,20 en X y 0,30 × 0,50 en Y; corte A-A con altura de 3,00 m — Figura 1. Planta y corte del pórtico con motor.

Paso 1. Datos y geometría

E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²

Vigas en X: 3,70 − 0,30 = 3,40 m libres (4 vigas: 2 ejes × 2 tramos).
Vigas en Y: 4,20 − 0,45 = 3,75 m libres (3 vigas: ejes 1, 2 y 3).
Columnas: 6. Planta total: (7,40 + 0,30) × (4,20 + 0,45) = 7,70 × 4,65 m.

Se toma 4,20 m entre ejes en la dirección Y, de modo que la figura, el metrado y la rigidez sean coherentes.

Paso 2. Metrado de cargas y masa

Elemento	Cálculo (n × L × b × h × γ)	Peso (ton)
Vigas en X	`4 × 3,40 × 0,30 × 0,20 × 2,4`	1,958
Vigas en Y	`3 × 3,75 × 0,30 × 0,50 × 2,4`	4,050
Columnas 0,30 × 0,45	`6 × (3,00/2) × 0,30 × 0,45 × 2,4`	2,916
Losa aligerada	`(7,70 × 4,65 − 7,455 − 0,810) × 0,300`	8,262
Piso terminado	`(7,70 × 4,65 − 0,810) × 0,100`	3,500
Carga muerta P_D		20,686
Carga viva (s/c)	`7,70 × 4,65 × 0,100`	3,581
P = P_D + 25 % P_L = 20,686 + 0,25 × 3,581		21,581

m = P / g = 21,581 / 9,81 = 2,1999 ton·s²/m

Control: P / área = 0,603 ton/m². En la losa se descuentan 7,455 m² de vigas (4 × 3,40 × 0,30 + 3 × 3,75 × 0,30) y 0,810 m² de columnas.

Paso 3. Periodo en X

En X trabajan 2 pórticos (ejes A y B) de 3 columnas y 2 vanos:

I_c = 0,45 × 0,30³ / 12 = 0,001012 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,20³ / 12 = 0,000200 m⁴

L = 3,70 m · h = 3,00 − 0,20/2 = 2,90 m → γ = (0,000200/3,70) / (0,001012/2,90) = 0,1548

k = 18 E I_c / h³ · (6γ² + 9γ + 1)/(3γ² + 6γ + 2) = 1373,37 ton/m → K_X = 2k = 2746,75 ton/m

ω_X = √(2746,75 / 2,1999) = 35,34 rad/s → T_X = 0,1778 s

Paso 4. Periodo en Y

En Y trabajan 3 pórticos (ejes 1, 2 y 3) de 2 columnas y 1 vano:

I_c = 0,30 × 0,45³ / 12 = 0,002278 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,50³ / 12 = 0,003125 m⁴

L = 4,20 m · h = 3,00 − 0,50/2 = 2,75 m → γ = (0,003125/4,20) / (0,002278/2,75) = 0,8982

k = 12 E I_c / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 3888,70 ton/m → K_Y = 3k = 11 666,11 ton/m

ω_Y = √(11 666,11 / 2,1999) = 72,82 rad/s → T_Y = 0,0863 s

Paso 5. Desplazamiento dinámico máximo en X e Y

Con P₀ = 10 ton, Ω = 20 rad/s y ζ = 5 %:

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] , r = Ω/ω_n

X: r = 20 / 35,34 = 0,5660 → R_d = 1,466 → u_max = (10 / 2746,75) × 1,466 = 5,34 mm

Y: r = 20 / 72,82 = 0,2746 → R_d = 1,081 → u_max = (10 / 11 666,11) × 1,081 = 0,927 mm

Paso 6. Cortante y momentos en las columnas (fuerza en Y)

V_total = K_Y · u_max = 11 666,11 × 0,00093 = 10,81 ton → V_col = 10,81 / 6 = 1,802 ton

Con vigas flexibles los nudos giran. El giro se obtiene con γ del pórtico en Y:

θ = −3/(3γ + 2) · (u/h) = −3/(3 × 0,8982 + 2) × (0,00093/2,75) = −0,000215 rad

M_sup = (6EI/h²) u + (4EI/h) θ = 2,090 ton·m

M_inf = (6EI/h²) u + (2EI/h) θ = 2,865 ton·m

Control: M_sup + M_inf = 4,955 ton·m = V_col · h = 1,802 × 2,75.

Paso 7. Dirección conveniente

Conviene que la fuerza actúe en Y: es la dirección más rígida (T_Y = 0,086 s < T_X = 0,178 s), la relación r = 0,27 está lejos de la resonancia y el desplazamiento máximo es 5,8 veces menor que en X.

Paso 8. Vigas infinitamente rígidas

Si EI_v = ∞, cada columna queda doblemente empotrada y su rigidez es 12EI/h³:

K_X = 6 × 12 × 2 173 706,5 × 0,001012 / 2,90³ = 6497,32 ton/m → ω = 54,35 rad/s → T_X = 0,1156 s

K_Y = 6 × 12 × 2 173 706,5 × 0,002278 / 2,75³ = 17 144,03 ton/m → ω = 88,28 rad/s → T_Y = 0,0712 s

Con viga rígida el periodo disminuye: se sobreestima la rigidez y se subestiman los desplazamientos.

Resultado

Masa: m = 2,200 ton·s²/m
Periodos: T_X = 0,178 s · T_Y = 0,086 s
Desplazamientos máximos: u_X = 5,34 mm · u_Y = 0,93 mm
Fuerza en Y: V_col = 1,80 ton · M_sup = 2,090 ton·m · M_inf = 2,865 ton·m
Vigas rígidas: T_X = 0,116 s · T_Y = 0,071 s

Errores comunes

Usar la fórmula del pórtico de un vano en X: con 3 columnas y 2 vanos corresponde la fórmula de 18EI/h³.
Tomar M = V·h/2 en ambos extremos de la columna: con vigas flexibles el momento inferior es mayor que el superior.
Medir h hasta la cara superior de la losa: la altura del pórtico llega al eje de la viga y cambia en cada dirección (2,90 m en X y 2,75 m en Y).

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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