Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio
Cortante y momento en las columnas de un pórtico con motor
Enunciado
Estructura aporticada de concreto armado (E = 2,5 × 10⁶ ton/m²) de 1 piso sometida a la carga armónica de un motor p(t) = 2500 · sen(25t) kg en la dirección S-Y. Columnas y vigas de 0,25 × 0,50 m (0,50 m en Y). Altura de piso 4,00 m; luz A = 4,50 m (eje a eje en Y) y A/2 = 2,25 m (eje a eje en X); dimensiones totales en planta 2,50 × 5,00 m. Losa aligerada t = 0,20 m (300 kg/m²); piso terminado 100 kg/m²; sobrecarga 100 kg/m² (considera el 25 %). Ignora el peso del motor. Amortiguamiento ζ = 5 %.
Calcula: a) el periodo de vibración natural en S-Y; b) el máximo desplazamiento dinámico; c) la máxima fuerza cortante y el máximo momento flector en las columnas.
Paso 1. Datos y geometría
E = 2 500 000 ton/m² (dato)
La longitud libre de cada viga es la distancia entre ejes menos la dimensión de la columna en esa dirección:
- Vigas en X: 2,25 − 0,25 = 2,00 m (2 vigas, ejes A y B).
- Vigas en Y: 4,50 − 0,50 = 4,00 m (2 vigas, ejes 1 y 2).
- Columnas: 4.
Paso 2. Metrado de cargas y masa
| Elemento | Cálculo (n × L × b × h × γ) | Peso (ton) |
|---|---|---|
| Vigas en X | 2 × 2,00 × 0,25 × 0,50 × 2,4 | 1,200 |
| Vigas en Y | 2 × 4,00 × 0,25 × 0,50 × 2,4 | 2,400 |
| Columnas 0,25 × 0,50 | 4 × (4,00/2) × 0,25 × 0,50 × 2,4 | 2,400 |
| Losa aligerada | (2,50 × 5,00 − 3,000 − 0,500) × 0,300 | 2,700 |
| Piso terminado | (2,50 × 5,00 − 0,500) × 0,100 | 1,200 |
| Carga muerta PD | 9,900 | |
| Carga viva (s/c) | 2,50 × 5,00 × 0,100 | 1,250 |
| P = PD + 25 % PL = 9,900 + 0,25 × 1,250 | 10,213 | |
m = P / g = 10,213 / 9,81 = 1,0410 ton·s²/m
Control: P / área = 10,213 / 12,5 = 0,817 ton/m², dentro del rango usual para losa aligerada (0,6 a 0,9 ton/m²).
Paso 3. Rigidez lateral y periodo en S-Y
En Y trabajan 2 pórticos (ejes 1 y 2), cada uno con 2 columnas y 1 viga. Columnas y vigas tienen la misma sección, con el lado de 0,50 m en Y:
Ic = Iv = 0,25 × 0,50³ / 12 = 0,002604 m⁴
Con L = 4,50 m entre ejes y la altura medida al eje de la viga, h = 4,00 − 0,50/2 = 3,75 m:
γ = (Iv/L) / (Ic/h) = (1/4,50) / (1/3,75) = 0,8333
k = 12 E Ic / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 1975,31 ton/m → KY = 2k = 3950,62 ton/m
ωn = √(3950,62 / 1,0410) = 61,60 rad/s → T = 2π / ωn = 0,1020 s
Paso 4. Desplazamiento dinámico máximo
La amplitud de la respuesta permanente ante una fuerza armónica es la deformación estática multiplicada por el factor de amplificación dinámica:
Rd = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] · r = Ω / ωn
P0 = 2,5 ton · r = 25 / 61,60 = 0,4058 → Rd = 1,196
umáx = (P0 / K) · Rd = (2,5 / 3950,62) × 1,196 = 0,757 mm
Paso 5. Cortante y momento en las columnas
Vtotal = K · umáx = 3950,62 × 0,000757 = 2,989 ton → Vcol = V / 4 = 0,747 ton
Como la viga es flexible, el nudo superior gira. El giro y los momentos en los extremos de la columna se obtienen con el método de rigidez:
θ = −3/(3γ + 2) · (u/h) = −0,000135 rad
Msup = (6EI/h²) u + (4EI/h) θ = 1,168 ton·m
Minf = (6EI/h²) u + (2EI/h) θ = 1,635 ton·m
Si se asumiera viga rígida, M = V · h/2 = 1,40 ton·m en ambos extremos. Con viga flexible el momento se redistribuye: el extremo inferior (empotrado) toma más que el superior, y Msup + Minf = Vcol · h.
Resultado
- Masa: m = 1,041 ton·s²/m; rigidez KY = 3950,6 ton/m
- Periodo en S-Y: T = 0,1020 s
- Desplazamiento dinámico máximo: umáx = 0,757 mm
- Cortante por columna: Vcol = 0,747 ton
- Momentos en la columna: Msup = 1,17 ton·m y Minf = 1,63 ton·m (máximo)
Errores comunes
- Usar la carga del motor en kg con la rigidez en ton/m: P0 = 2500 kg = 2,5 ton.
- Calcular r con la frecuencia en hercios: Ω = 25 rad/s se divide directamente entre ωn en rad/s.
- Repartir el momento como V · h/2 en ambos extremos: eso solo vale con viga rígida; con viga flexible Minf > Msup.
Bibliografía de consulta
- Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
- Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.