Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Cortante en un pórtico con máquina vibratoria

Enunciado

El pórtico de concreto armado de la figura tiene 4 % de amortiguamiento crítico. Columnas y viga de 0,30 × 0,50 m, f'c = 210 kg/cm². Una carga W = 7000 kg/m (incluye el peso muerto y el porcentaje del peso vivo) actúa sobre toda la viga, de L = 6,0 m; la altura es h = 4,0 m al eje de la viga. El pórtico soporta una máquina vibratoria que ejerce una fuerza horizontal al nivel de la viga F(t) = 1500 · sen(18t) kg.

Calcula: a) la máxima fuerza cortante en las columnas debida a la vibración permanente; b) los momentos máximos superior e inferior en las columnas.

Pórtico de una crujía de 6,0 m de luz y 4,0 m de altura con carga distribuida w = 7000 kg/m sobre la viga y fuerza horizontal F(t) al nivel de la viga — Figura 1. Pórtico con la carga distribuida y la fuerza de la máquina.

Paso 1. Masa

La carga W ya incluye el peso muerto y la fracción de carga viva, así que el peso sísmico es solo la carga sobre la viga (no se añade el peso propio de las columnas):

W_total = w · L = 7,0 × 6,0 = 42,00 ton

m = W / g = 42,00 / 9,81 = 4,2813 ton·s²/m

Paso 2. Rigidez lateral y frecuencia natural

E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²

I_c = I_v = 0,30 × 0,50³ / 12 = 0,003125 m⁴ · γ = (I_v/6,0) / (I_c/4,0) = 0,6667

K = 12 E I_c / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 1592,07 ton/m

ω_n = √(K/m) = √(1592,07 / 4,2813) = 19,284 rad/s (T = 0,326 s)

Paso 3. Respuesta permanente (ζ = 4 %)

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] · r = Ω / ω_n

u_est = P₀ / K = 1,5 / 1592,07 = 0,000942 m

r = 18 / 19,284 = 0,9334 → R_d = 6,720

u_máx = 0,000942 × 6,720 = 6,33 mm

Con r ≈ 0,93 la máquina trabaja cerca de la resonancia: la respuesta dinámica es casi siete veces la estática.

Paso 4. Cortante máximo en las columnas

V_total = K · u_máx = 1592,07 × 0,00633 = 10,08 ton

Las dos columnas son iguales, así que cada una toma la mitad:

V_col = 10,08 / 2 = 5,04 ton

Paso 5. Momentos en las columnas

Con viga flexible, el nudo superior gira y los momentos se obtienen con el método de rigidez:

θ = −3/(3γ + 2) · (u/h) = −0,00119 rad

M_sup = (6EI/h²) u + (4EI/h) θ = 8,06 ton·m

M_inf = (6EI/h²) u + (2EI/h) θ = 12,10 ton·m

Comprobación: M_sup + M_inf = 20,16 ton·m = V_col · h = 5,04 × 4,0.

Resultado

Masa: m = 4,281 ton·s²/m; rigidez K = 1592,1 ton/m; ω_n = 19,28 rad/s
Factor de amplificación: R_d = 6,72; u_máx = 6,33 mm
Cortante máximo por columna: V_col = 5,04 ton
Momentos: M_sup = 8,06 ton·m y M_inf = 12,10 ton·m

Errores comunes

Sumar el peso propio de columnas y viga cuando el enunciado dice que W ya incluye el peso muerto.
Despreciar el amortiguamiento cerca de la resonancia: con r ≈ 0,93 el término 2ζr cambia R_d de forma apreciable.
Olvidar dividir el cortante total entre las dos columnas.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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