Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Pórtico de acero con y sin cables de arriostre

Enunciado

Pórtico de acero de un nivel y un vano, empotrado en la base, con columnas y viga W12×16 (I = 4,29 × 10⁻⁵ m⁴, peso 23,8 kg/m; E = 2,0 × 10⁷ ton/m²). La luz y la altura (al eje de la viga) son A = 4,00 m. Sobre la viga actúa una carga distribuida w = 5 ton/m. Se desea arriostrar el pórtico con cables en X de Ø 1/2" (solo trabaja el cable en tracción; E = 2,0 × 10⁷ ton/m²). Considera ζ = 7 %, el peso propio de la viga y la mitad de la altura de las columnas.

Calcula: a) la masa del sistema; b) la rigidez lateral del pórtico sin cables y con cables; c) ω_n y T_n en vibración libre sin amortiguamiento, con y sin cables; d) ω_D y T_D con amortiguamiento ζ = 7 %, con y sin cables.

Pórtico de un vano de luz A y altura A con columnas y viga W12×16 empotrado en la base, carga distribuida de 5 ton/m sobre la viga y dos cables diagonales de Ø 1/2 pulgada en X — Figura 1. Pórtico de acero arriostrado con cables en X.

Paso 1. Metrado de pesos y masa

Elemento	Cálculo	Peso (ton)
Carga distribuida	`5,00 × 4,00`	20,0000
Viga W12×16	`23,8 kg/m × 4,00 m`	0,0952
Columnas (2, media altura)	`23,8 × (2 × 4,00/2)`	0,0952
W_total		20,1904

m = W / g = 20,1904 / 9,81 = 2,0581 ton·s²/m

Paso 2. Rigidez del pórtico sin cables

La viga y las columnas tienen el mismo perfil y L = h = 4,00 m, así que γ = 1:

γ = (I_v/L) / (I_c/h) = 1,0000

k_pórtico = 12 E I / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 12 × 2,0 × 10⁷ × 4,29 × 10⁻⁵ / 4³ × 7/5 = 225,225 ton/m

Paso 3. Aporte del cable y rigidez con cables

El cable es una barra axial inclinada a 45°. Su rigidez lateral es la axial multiplicada por cos²θ:

A_cable = π · 0,0127² / 4 = 1,2668 × 10⁻⁴ m² · L_cable = √2 × 4,00 = 5,6569 m

k_cable = (E A / L) · cos²45° = (2,0 × 10⁷ × 1,2668 × 10⁻⁴ / 5,6569) × 0,5 = 223,935 ton/m

k_{con cables} = 225,225 + 223,935 = 449,160 ton/m

Solo se considera un cable activo, el que trabaja en tracción para el sentido analizado; el otro se afloja. Si ambos cables aportaran rigidez, k_cable se duplicaría.

Paso 4. Vibración libre sin amortiguamiento

Sin cables: ω_n = √(225,225 / 2,0581) = 10,4609 rad/s → T_n = 2π/ω_n = 0,6006 s

Con cables: ω_n = √(449,160 / 2,0581) = 14,7728 rad/s → T_n = 0,4253 s

Paso 5. Vibración libre con amortiguamiento ζ = 7 %

ω_D = ω_n √(1 − ζ²) = ω_n √(1 − 0,0049) · T_D = 2π / ω_D

Sin cables: ω_D = 10,4609 × 0,99755 = 10,4353 rad/s → T_D = 0,6021 s

Con cables: ω_D = 14,7728 × 0,99755 = 14,7366 rad/s → T_D = 0,4264 s

Con un 7 % de amortiguamiento la frecuencia baja apenas un 0,25 %: en estructuras usuales ω_D ≈ ω_n.

Resultado

Masa: m = 2,058 ton·s²/m
Rigidez: 225,2 ton/m sin cables y 449,2 ton/m con cables
Sin cables: ω_n = 10,461 rad/s, T_n = 0,601 s; ω_D = 10,435 rad/s, T_D = 0,602 s
Con cables: ω_n = 14,773 rad/s, T_n = 0,425 s; ω_D = 14,737 rad/s, T_D = 0,426 s

Errores comunes

Sumar la rigidez axial EA/L del cable sin proyectarla: para el desplazamiento horizontal se multiplica por cos²θ.
Contar los dos cables cuando solo trabaja el que queda en tracción: un cable no resiste compresión.
Usar 3EI/h³ por columna: el pórtico está empotrado en la base y unido a una viga flexible, por lo que se aplica la fórmula con γ.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural: teoría y cálculo. Reverté.

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