Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio
Pórtico con aceleración armónica en la base por el paso de un tren
Enunciado
Estructura aporticada de concreto armado de 1 nivel (f'c = 210 kg/cm²) expuesta al paso de un tren, que produce una aceleración armónica en la base üg = 4,0·sen(15t) m/s². Columnas de 0,30 × 0,50 m (0,50 m en X y 0,30 m en Y); vigas de 0,30 × 0,40 m en ambas direcciones; altura de piso 4,50 m; luces A = 4,50 m entre ejes (2 vanos en X y 1 vano en Y; planta total 9,50 × 4,80 m). Losa aligerada de t = 0,20 m (300 kg/m²), tabiquerías aisladas, piso terminado 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (25 % en el peso sísmico); ζ = 5 %.
Calcula: a) la masa de la estructura; b) los periodos de vibración en X e Y; c) el desplazamiento dinámico máximo en X e Y; d) el cortante máximo en cada columna, en X y en Y.
Paso 1. Datos y geometría
E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²
- Vigas en X: 4,50 − 0,50 = 4,00 m libres (4 vigas).
- Vigas en Y: 4,50 − 0,30 = 4,20 m libres (3 vigas).
- Columnas: 6. Planta total: (2 × 4,50 + 0,50) × (4,50 + 0,30) = 9,50 × 4,80 m.
Paso 2. Metrado de cargas y masa
| Elemento | Cálculo (n × L × b × h × γ) | Peso (ton) |
|---|---|---|
| Vigas en X | 4 × 4,00 × 0,30 × 0,40 × 2,4 | 4,608 |
| Vigas en Y | 3 × 4,20 × 0,30 × 0,40 × 2,4 | 3,629 |
| Columnas 0,50 × 0,30 | 6 × (4,50/2) × 0,50 × 0,30 × 2,4 | 4,860 |
| Losa aligerada | (9,50 × 4,80 − 8,580 − 0,900) × 0,300 | 10,836 |
| Piso terminado | (9,50 × 4,80 − 0,900) × 0,100 | 4,470 |
| Carga muerta PD | 28,403 | |
| Carga viva (s/c) | 9,50 × 4,80 × 0,100 | 4,560 |
| P = PD + 25 % PL = 28,403 + 0,25 × 4,560 | 29,543 | |
m = P / g = 29,543 / 9,81 = 3,0115 ton·s²/m
Control: P / área = 0,648 ton/m². En la losa se descuentan 8,580 m² de vigas (4 × 4,00 × 0,30 + 3 × 4,20 × 0,30) y 0,900 m² de columnas.
Paso 3. Rigidez y periodo en X
En X trabajan 2 pórticos de 3 columnas y 2 vanos. La altura hasta el eje de la viga es h = 4,50 − 0,40/2 = 4,30 m y L = 4,50 m:
Ic = 0,30 × 0,50³ / 12 = 0,003125 m⁴ · Iv = 0,30 × 0,40³ / 12 = 0,001600 m⁴ → γ = 0,4892
k = 18 E Ic / h³ · (6γ² + 9γ + 1)/(3γ² + 6γ + 2) = 1860,43 ton/m → KX = 2k = 3720,85 ton/m
ωX = √(3720,85 / 3,0115) = 35,150 rad/s → TX = 0,1788 s
Paso 4. Rigidez y periodo en Y
En Y trabajan 3 pórticos de 2 columnas y 1 vano, con la columna orientada por su lado de 0,30 m:
Ic = 0,50 × 0,30³ / 12 = 0,001125 m⁴ → γ = (0,001600/4,50) / (0,001125/4,30) = 1,3590
k = 12 E Ic / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 555,97 ton/m → KY = 3k = 1667,91 ton/m
ωY = √(1667,91 / 3,0115) = 23,534 rad/s → TY = 0,2670 s
Paso 5. Desplazamiento dinámico máximo
La aceleración en la base equivale a una fuerza efectiva P0 = m·a0 aplicada en la losa:
P0 = 3,0115 × 4,0 = 12,046 ton · Rd = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] , r = Ω/ωn
X: r = 15 / 35,15 = 0,4267 → Rd = 1,221 → umax = (12,046 / 3720,85) × 1,221 = 3,95 mm
Y: r = 15 / 23,53 = 0,6374 → Rd = 1,675 → umax = (12,046 / 1667,91) × 1,675 = 12,09 mm
Se usa Rd con ζ = 5 %, como pide el enunciado. Sin amortiguamiento los desplazamientos serían apenas mayores (3,96 mm y 12,16 mm), porque r está lejos de 1.
Paso 6. Cortante máximo en cada columna
El cortante total V = K·umax se reparte entre las 6 columnas, que son iguales en cada dirección:
X: Vtotal = 3720,85 × 0,00395 = 14,71 ton → 2,451 ton por columna
Y: Vtotal = 1667,91 × 0,01209 = 20,17 ton → 3,362 ton por columna
Resultado
- Masa: m = 3,011 ton·s²/m
- Periodos: TX = 0,179 s · TY = 0,267 s
- Desplazamientos máximos: uX = 3,95 mm · uY = 12,09 mm
- Cortante por columna: VX = 2,45 ton · VY = 3,36 ton
Errores comunes
- Usar la misma inercia de columna en X y en Y: en X el peralte es 0,50 m y en Y solo 0,30 m, por eso la estructura es más flexible en Y.
- Tomar P0 como el peso por la aceleración: la fuerza efectiva es la masa (ton·s²/m) por a0 (m/s²).
- Asignar a cada columna el cortante total: V = K·umax es la fuerza de todo el piso y se divide entre las 6 columnas.
Bibliografía de consulta
- Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
- Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.