Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Periodo de vibración de un paradero de dos columnas

Enunciado

Paradero de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) formado por 2 columnas de 0,30 × 0,60 m (0,60 m en X) empotradas en la cimentación y unidas por una viga de 0,30 × 0,50 m. El techo es una losa aligerada de t = 0,20 m (300 kg/m²) armada en la dirección Y, sin vigas de borde. La altura es de 3,50 m y la planta mide 6,50 × 4,50 m. Piso terminado 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (considera el 25 % en el peso sísmico). Ignora el amortiguamiento.

Calcula: a) la masa total de la estructura; b) la rigidez lateral en la dirección X; c) el periodo de vibración en la dirección X.

Planta de 6,50 × 4,50 m con una viga de 0,30 × 0,50 m en el eje 1 entre dos columnas y losa aligerada en dirección Y; elevación con altura de 3,50 m — Figura 1. Planta y elevación del paradero.

Paso 1. Datos y geometría

E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²

Longitud libre de la viga, entre caras de columnas: 6,50 − 2 × 0,60 = 5,30 m (1 viga).
Distancia entre ejes de columnas: 6,50 − 0,60 = 5,90 m.
No hay vigas de borde: en la losa solo se descuenta el área de la viga central y de las 2 columnas.

Paso 2. Metrado de cargas y masa

Elemento	Cálculo (n × L × b × h × γ)	Peso (ton)
Viga (eje 1)	`1 × 5,30 × 0,30 × 0,50 × 2,4`	1,908
Columnas 0,60 × 0,30	`2 × (3,50/2) × 0,60 × 0,30 × 2,4`	1,512
Losa aligerada	`(6,50 × 4,50 − 1,590 − 0,360) × 0,300`	8,190
Piso terminado	`(6,50 × 4,50 − 0,360) × 0,100`	2,889
Carga muerta P_D		14,499
Carga viva (s/c)	`6,50 × 4,50 × 0,100`	2,925
P = P_D + 25 % P_L = 14,499 + 0,25 × 2,925		15,230

m = P / g = 15,230 / 9,81 = 1,5525 ton·s²/m

Control: P / área = 15,230 / 29,25 = 0,521 ton/m². El área descontada en la losa es 5,30 × 0,30 = 1,590 m² (viga) más 2 × 0,60 × 0,30 = 0,360 m² (columnas).

Paso 3. Rigidez lateral en X

En X trabaja un solo pórtico de 2 columnas y 1 viga. El peralte de la columna en X es 0,60 m:

I_c = 0,30 × 0,60³ / 12 = 0,005400 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,50³ / 12 = 0,003125 m⁴

La luz se mide entre ejes de columnas, L = 5,90 m, y la altura hasta el eje de la viga, h = 3,50 − 0,50/2 = 3,25 m.

γ = (I_v/L) / (I_c/h) = (0,003125/5,90) / (0,005400/3,25) = 0,3188

K_X = 12 E I_c / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 4042,62 ton/m

Paso 4. Periodo en X

ω_n = √(K/m) = √(4042,62 / 1,5525) = 51,03 rad/s → T_X = 2π / ω_n = 0,1231 s

Resultado

Masa: m = 1,553 ton·s²/m
Rigidez en X: K_X = 4042,6 ton/m
Periodo en X: T_X = 0,123 s

Errores comunes

Usar la longitud libre de la viga (5,30 m) en γ: en la fórmula del pórtico la luz se mide entre ejes de columnas (5,90 m).
Descontar vigas de borde en la losa: este paradero no las tiene, solo la viga central.
Tomar la inercia de la columna con 0,30 m como peralte: en X la dimensión paralela al sismo es 0,60 m.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.

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