Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Paradero en voladizo: periodo, decremento logarítmico y amortiguamiento

Enunciado

Paradero de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) con 2 columnas de 0,30 × 0,60 m (0,60 m en X) empotradas en la cimentación y unidas por una viga de 0,30 × 0,60 m. El techo mide 1,5A = 6,75 m en X y A = 4,50 m en Y. Peso de 0,60 ton/m² de área techada (peso muerto más el porcentaje de peso vivo). Altura 4,00 m al nivel del techo. En la dirección S-Y no hay vigas: las columnas trabajan como voladizos. ζ = 5 %.

Calcula: a) el periodo de vibración en S-Y; b) si una fuerza horizontal produce un desplazamiento de 20 mm, ¿en cuánto tiempo la amplitud se reduce a 1 mm?; c) el amortiguamiento crítico c_cr y el del sistema c; d) la máxima fuerza cortante en las columnas debida a F(t) = 1500 · sen(25t) kg aplicada al nivel del techo; e) la frecuencia angular de una carga que produciría resonancia.

Planta de un techo de 6,75 × 4,50 m con dos columnas unidas por una viga de 0,30 × 0,60 m en dirección X; elevación con altura de 4,0 m y ancho de 6,75 m — Figura 1. Planta y elevación del paradero.

Paso 1. Masa

Área = 1,5A × A = 6,75 × 4,50 = 30,375 m²

W = 0,60 × 30,375 = 18,225 ton → m = W / g = 1,8578 ton·s²/m

Paso 2. Rigidez en S-Y

En Y el lado de la columna es 0,30 m, que es el peralte para la inercia. Sin viga en esa dirección, cada columna es un voladizo empotrado en la base:

I = 0,60 × 0,30³ / 12 = 0,00135 m⁴ · E = 2 173 706,5 ton/m²

k = 3EI / h³ = 3 × 2 173 706,5 × 0,00135 / 4,00³ = 137,55 ton/m

K_Y = 2k = 275,11 ton/m

Se toma h = 4,00 m según la figura. Si se midiera la altura hasta el eje de la losa (4,00 − 0,10 m), la rigidez cambiaría cerca de un 3 %.

Paso 3. Periodo

ω_n = √(275,11 / 1,8578) = 12,169 rad/s → T = 0,5163 s

Paso 4. Tiempo para pasar de 20 mm a 1 mm

Para amortiguamiento pequeño el decremento logarítmico es δ ≈ 2πζ, y el número de ciclos para reducir la amplitud de u₀ a u_j es j = ln(u₀/u_j) / δ:

δ = 2π × 0,05 = 0,31416

j = ln(20/1) / δ = 2,9957 / 0,31416 = 9,536 ciclos

t = j · T = 9,536 × 0,5163 = 4,924 s

Paso 5. Amortiguamiento crítico y del sistema

c_cr = 2K / ω_n = 2 × 275,11 / 12,169 = 45,215 ton·s/m

c = ζ · c_cr = 0,05 × 45,215 = 2,261 ton·s/m

Paso 6. Cortante por F(t) = 1,5 · sen(25t) ton

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] · r = Ω / ω_n

r = 25 / 12,169 = 2,0544 (> 1) → R_d = 0,3099

u_máx = (1,5 / 275,11) × 0,3099 = 1,690 mm

V_total = K · u_máx = 0,465 ton → V_col = 0,232 ton

Como r > 1, la carga es más rápida que la estructura y la respuesta dinámica es menor que la estática (R_d < 1).

Paso 7. Frecuencia de resonancia

Ω = ω_n = 12,169 rad/s

Resultado

Masa m = 1,858 ton·s²/m; rigidez K_Y = 275,1 ton/m
Periodo en S-Y: T = 0,516 s
De 20 mm a 1 mm: j = 9,54 ciclos, t = 4,92 s
c_cr = 45,21 ton·s/m; c = 2,26 ton·s/m
Cortante por columna: V_col = 0,232 ton
Resonancia: Ω = 12,17 rad/s

Errores comunes

Usar la fórmula del pórtico (12EI/h³ o la de γ) en S-Y: sin vigas en esa dirección, las columnas son voladizos con k = 3EI/h³.
Tomar 0,60 m como peralte en Y: el lado paralelo a S-Y es 0,30 m.
Escribir c en ton·s/mm o en kg: con K en ton/m y ω en rad/s, las unidades de c son ton·s/m.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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