Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Paradero sometido a una aceleración armónica en la base

Enunciado

Paradero de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) con 2 columnas de 0,30 × 0,60 m (0,30 m en X) empotradas en la base y unidas por una viga de 0,30 × 0,60 m. La viga ocupa el ancho de las columnas, de modo que su luz libre es 6,00 − 2 × 0,30 = 5,40 m. Losa aligerada de t = 0,20 m (300 kg/m²), acabados 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (25 % en el peso sísmico). Altura 4,00 m y planta de 6,00 × 5,00 m. Al pasar un tren, la base sufre una aceleración armónica ü_g = 2,5·sen(18t) m/s². Amortiguamiento ζ = 5 %.

Calcula: a) la masa de la estructura; b) la rigidez lateral en X y la frecuencia ω_n; c) el desplazamiento dinámico máximo u_max = (P₀/K)·R_d con P₀ = m·a₀; d) la fuerza restitutiva máxima F_R = K·u_max y el cortante por columna.

Planta de 6,00 × 5,00 m con una viga de 0,30 × 0,60 m entre dos columnas de 0,30 en X por 0,60 en Y; elevación de 6,00 m de ancho y 4,00 m de altura con losa aligerada de 0,20 m — Figura 1. Planta y elevación del paradero.

Paso 1. Metrado de cargas y masa

E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²

Elemento	Cálculo (n × L × b × h × γ)	Peso (ton)
Viga en X	`1 × 5,40 × 0,30 × 0,60 × 2,4`	2,333
Columnas 0,30 × 0,60	`2 × (4,00/2) × 0,30 × 0,60 × 2,4`	1,728
Losa aligerada	`(6,00 × 5,00 − 1,620 − 0,360) × 0,300`	8,406
Piso terminado	`(6,00 × 5,00 − 0,360) × 0,100`	2,964
Carga muerta P_D		15,431
Carga viva (s/c)	`6,00 × 5,00 × 0,100`	3,000
P = P_D + 25 % P_L = 15,431 + 0,25 × 3,000		16,181

m = P / g = 16,181 / 9,81 = 1,6494 ton·s²/m

En la losa se descuenta el área en planta de la viga (5,40 × 0,30 = 1,620 m²) y de las columnas (2 × 0,30 × 0,60 = 0,360 m²): 30,00 − 1,62 − 0,36 = 28,02 m². Control: P / área = 0,539 ton/m².

Paso 2. Rigidez lateral en X y frecuencia

En X la columna tiene 0,30 m de peralte; la viga, 0,60 m:

I_c = 0,60 × 0,30³ / 12 = 0,00135 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,60³ / 12 = 0,00540 m⁴

L = 6,00 − 0,30 = 5,70 m (entre ejes) · h = 4,00 − 0,60/2 = 3,70 m (hasta el eje de la viga)

γ = (I_v/L) / (I_c/h) = (0,00540/5,70) / (0,00135/3,70) = 2,5965

K = 12 E I_c / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 1177,36 ton/m

ω_n = √(1177,36 / 1,6494) = 26,72 rad/s (T = 0,235 s)

Paso 3. Respuesta a la aceleración armónica en la base

La aceleración del suelo equivale a una fuerza efectiva aplicada en la masa de amplitud P₀ = m·a₀:

P₀ = 1,6494 × 2,5 = 4,124 ton · u_st = P₀/K = 4,124 / 1177,36 = 0,00350 m

r = Ω/ω_n = 18 / 26,72 = 0,6737

R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²] = 1 / √[(1 − 0,6737²)² + (2 × 0,05 × 0,6737)²] = 1,817

u_max = u_st · R_d = 0,00350 × 1,817 = 6,37 mm

Paso 4. Fuerza restitutiva y cortante por columna

F_R = K · u_max = 1177,36 × 0,00637 = 7,49 ton

V_col = 7,49 / 2 = 3,75 ton

Resultado

Masa: m = 1,649 ton·s²/m
Rigidez en X: K = 1177,4 ton/m · ω_n = 26,72 rad/s
Desplazamiento máximo: u_max = 6,37 mm
Fuerza restitutiva: F_R = 7,49 ton (3,75 ton por columna)

Errores comunes

Tomar P₀ = a₀ o usar el peso en lugar de la masa: la fuerza efectiva es m·a₀, con m en ton·s²/m.
Calcular r con la frecuencia en hertz: Ω = 18 rad/s y ω_n deben estar ambas en rad/s.
Usar la luz libre de la viga (5,40 m) en γ: la luz del pórtico se mide entre ejes de columnas (5,70 m).

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

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