Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio
Masa, rigidez lateral y periodo de un pórtico de un nivel
Enunciado
Estructura aporticada de concreto armado de 1 nivel (f'c = 210 kg/cm²), con altura de piso de 4,00 m. Desprecia el amortiguamiento. Columnas de 0,30 × 0,60 m (0,30 m en X y 0,60 m en Y). Vigas de 0,30 × 0,40 m en ambas direcciones. Losa aligerada en una dirección de t = 0,20 m (300 kg/m²). Las tabiquerías están aisladas de los elementos estructurales. Piso terminado 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (considera el 25 % en el peso sísmico).
Calcula: a) la masa total de la estructura; b) la rigidez lateral en la dirección Y; c) el periodo de vibración en Y; d) la rigidez y el periodo en la dirección X.
Paso 1. Datos y geometría
E = 15 000 · √210 = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²
La planta mide 8,30 × 5,00 m: la distancia entre ejes más media columna a cada lado. La longitud libre de cada viga es la distancia entre ejes menos la dimensión de la columna en esa dirección:
- Vigas en X: 4,00 − 0,30 = 3,70 m (4 vigas: 2 ejes × 2 tramos).
- Vigas en Y: 4,40 − 0,60 = 3,80 m (3 vigas: ejes 1, 2 y 3).
- Columnas: 6.
Paso 2. Metrado de cargas y masa
| Elemento | Cálculo (n × L × b × h × γ) | Peso (ton) |
|---|---|---|
| Vigas en X | 4 × 3,70 × 0,30 × 0,40 × 2,4 | 4,262 |
| Vigas en Y | 3 × 3,80 × 0,30 × 0,40 × 2,4 | 3,283 |
| Columnas 0,30 × 0,60 | 6 × (4,00/2) × 0,30 × 0,60 × 2,4 | 5,184 |
| Losa aligerada | (8,30 × 5,00 − 7,860 − 1,080) × 0,300 | 9,768 |
| Piso terminado | (8,30 × 5,00 − 1,080) × 0,100 | 4,042 |
| Carga muerta PD | 26,540 | |
| Carga viva (s/c) | 8,30 × 5,00 × 0,100 | 4,150 |
| P = PD + 25 % PL = 26,540 + 0,25 × 4,150 | 27,577 | |
m = P / g = 27,577 / 9,81 = 2,8111 ton·s²/m
Control: P / área = 27,577 / 41,5 = 0,665 ton/m², dentro del rango usual para losa aligerada (0,6 a 0,9 ton/m²). En la viga se usa el peralte total (0,40 m) y en la columna la mitad de la altura. En la losa se descuenta el área en planta de vigas y columnas; en el piso terminado, solo la de columnas.
Paso 3. Rigidez lateral en Y
En Y trabajan 3 pórticos (ejes 1, 2 y 3), cada uno con 2 columnas y 1 viga. La inercia se calcula con la dimensión paralela a la dirección del sismo como peralte:
Ic = 0,30 × 0,60³ / 12 = 0,005400 m⁴ · Iv = 0,30 × 0,40³ / 12 = 0,001600 m⁴
La altura del pórtico se mide hasta el eje de la viga: h = 4,00 − 0,40/2 = 3,80 m, con L = 4,40 m entre ejes.
γ = (Iv/L) / (Ic/h) = (0,001600/4,40) / (0,005400/3,80) = 0,2559
kpórtico = 12 E Ic / h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 2351,52 ton/m
KY = 3 × 2351,52 = 7054,55 ton/m
Paso 4. Periodo en Y
ωn = √(K/m) = √(7054,55 / 2,8111) = 50,10 rad/s → TY = 2π / ωn = 0,1254 s
Paso 5. Rigidez y periodo en X
En X trabajan 2 pórticos (ejes A y B) de 3 columnas y 2 vanos:
Ic = 0,60 × 0,30³ / 12 = 0,001350 m⁴ · L = 4,00 m · h = 3,80 m → γ = 1,1259
k = 18 E Ic / h³ · (6γ² + 9γ + 1)/(3γ² + 6γ + 2) = 1436,39 ton/m → KX = 2k = 2872,78 ton/m
ωn = 31,97 rad/s → TX = 0,1965 s
La estructura es más flexible en X porque las columnas solo tienen 0,30 m en esa dirección.
Resultado
- Masa: m = 2,811 ton·s²/m
- Rigidez en Y: KY = 7054,6 ton/m → TY = 0,125 s
- Rigidez en X: KX = 2872,8 ton/m → TX = 0,197 s
Errores comunes
- Calcular la inercia de la columna con la dimensión perpendicular al sismo: el peralte es siempre el lado paralelo a la dirección analizada.
- Medir h hasta la cara superior de la losa: con vigas flexibles se mide hasta el eje de la viga.
- Sumar el 100 % de la sobrecarga en el peso sísmico: aquí se usa el 25 %.
Bibliografía de consulta
- Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
- Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.