Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Formulario de dinámica estructural e ingeniería sismorresistente

Este formulario reúne, en el orden en que se aplican, las fórmulas que se usan en los ejercicios resueltos de ingeniería sismorresistente: primero el metrado y la masa, luego la rigidez lateral, la respuesta dinámica de un grado de libertad, el espectro de la Norma E.030 y el análisis modal de dos grados de libertad.

Materiales, cargas y masa

Concepto	Fórmula o valor
Módulo de elasticidad del concreto	E = 15 000 √f'c (kg/cm²) → para f'c = 210: E = 217 370,65 kg/cm² = 2 173 706,5 ton/m²
Cargas usadas en los ejercicios	Concreto γ = 2,4 ton/m³ · losa aligerada t = 0,20 m → 300 kg/m² · piso terminado 100 kg/m² · sobrecarga 100 kg/m²; en el peso sísmico se usa el 25 % de la carga viva
Masa	P = P_D + 0,25 P_L · m = P / g, con g = 9,81 m/s² (386,22 in/s²)

Convención de metrado

Elemento	Regla
Planta	Dimensión total = distancia entre ejes + media columna en cada extremo. Control: P / área ≈ 0,6 a 0,9 ton/m² (losa aligerada)
Vigas	n × longitud libre (entre ejes − dimensión de la columna en esa dirección) × b × h_total × 2,4
Columnas	n × (H/2) × b_x × b_y × 2,4 (media altura de columna por nivel)
Losa	(área total − área en planta de vigas − área de columnas) × 0,300
Piso terminado	(área total − área de columnas) × 0,100
Sobrecarga	área total × 0,100 × 25 %

Rigidez lateral

Concepto	Fórmula
Inercias	Rectangular: I = b h³ / 12, con h = dimensión paralela a la dirección de análisis · circular: I = π D⁴ / 64
Altura del pórtico	Con vigas flexibles, h se mide al eje de la viga: h = h_piso − h_viga/2
Columna en voladizo	K = 3EI / h³
Columna empotrada-empotrada (viga rígida)	K = 12EI / h³
Pórtico de 1 vano (2 columnas)	γ = (I_v/L) / (I_c/h) · k = 12EI_c/h³ · (6γ + 1)/(3γ + 2)
Pórtico de 2 vanos (3 columnas)	k = 18EI_c/h³ · (6γ² + 9γ + 1)/(3γ² + 6γ + 2)
Rigidez de la estructura	K = Σ (rigideces de los pórticos o columnas en la dirección analizada)
Muro de albañilería (voladizo con deformación por corte)	K = E_m t / [4(h/L)³ + 3(h/L)] · E_m = 500 f'm · G = 0,4 E
Resortes	Paralelo: k = Σk_i · serie: 1/k = Σ1/k_i
Barra axial	k = EA / L
Viga simplemente apoyada con carga puntual a distancias a y b de los apoyos	k = 3EIL / (a² b²)

Vibración de un grado de libertad

Concepto	Fórmula
Vibración libre sin amortiguamiento	ω_n = √(K/m) · T = 2π/ω_n · f = 1/T · u = u₀ cos ω_nt + (v₀/ω_n) sen ω_nt · A = √(u₀² + (v₀/ω_n)²)
Amortiguamiento	c_cr = 2K/ω_n = 2√(Km) · ζ = c/c_cr · ω_D = ω_n√(1 − ζ²)
Decremento logarítmico	δ = (1/j) ln(u₀/u_j) ≈ 2πζ · j = ln(u₀/u_j) / δ · t = j T
Vibración libre amortiguada	u = e^−ζω_nt [u₀ cos ω_Dt + (v₀ + ζω_nu₀)/ω_D · sen ω_Dt]
Fuerza armónica	R_d = 1 / √[(1 − r²)² + (2ζr)²], con r = Ω/ω_n · u_máx = (P₀/K) R_d · resonancia: Ω = ω_n
Aceleración armónica en la base	P₀ = m a₀

Cortante y momento en columnas

Caso	Fórmula
Fuerza en la estructura	V = K u_máx
Columna en voladizo	M = V h
Columna empotrada (viga rígida)	M = V h / 2
Pórtico con vigas flexibles	θ = −3/(3γ + 2) · Δ/h · M_sup = 6EI/h² · Δ + 4EI/h · θ · M_inf = 6EI/h² · Δ + 2EI/h · θ

Espectro de la Norma E.030

Concepto	Fórmula
Aceleración espectral	S_a = Z U C S / R · g
Factor de amplificación sísmica	C = 2,5 si T < T_P · C = 2,5 T_P/T si T_P < T < T_L · C = 2,5 T_PT_L/T² si T > T_L
Desplazamiento y fuerza	S_d = S_a / ω_n² · F_R = K S_d = m S_a
Cortante estático y mínimo	V_est = (Z U C S / R) P · V_mín = 0,80 V_est (estructura regular)
Desplazamiento inelástico (estructura regular)	Δ_inelástico = 0,75 R Δ_elástico
Deriva	Δ / h ≤ 0,007 (concreto armado)

Análisis modal de dos grados de libertad

Concepto	Fórmula
Ecuación característica	\|K − λM\| = 0, con λ = ω²
Forma de modo	(K₁₁ − λm₁) X₁ + K₁₂ X₂ = 0
Masa generalizada y modo normalizado	M_gen = φᵀMφ · Φ = φ / √M_gen
Factor de participación y masa efectiva	Γ = ΦᵀM{1} · masa efectiva = Γ²

Revisa siempre las unidades (m, cm, in), que la calculadora esté en radianes y que la dimensión usada en I sea la paralela a la dirección del sismo.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.

Ver más ejercicios