Ingeniería sismorresistente · Nivel avanzado

Fuerza restitutiva con un espectro de pseudo-aceleraciones

Enunciado

Estructura de 4 columnas de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) de sección circular D = 0,60 m, conectadas por vigas de 0,30 × 0,60 m y empotradas en la cimentación. Las columnas forman un cuadrado de 12,0 m de lado eje a eje. Peso estimado W = 180 ton; altura H = 5,0 m al eje de las vigas. Usa el espectro de pseudo-aceleraciones mostrado (ξ = 5 %) y analiza la dirección X.

Calcula: a) el periodo de vibración; b) la fuerza restitutiva en la estructura. Como complemento, obtén el cortante y los momentos en cada columna.

Elevación de una losa de W = 180 ton sobre cuatro columnas circulares de altura H; planta circular de 22,0 m de diámetro con las cuatro columnas en un cuadrado de 12,0 m de lado — Figura 1. Elevación y planta de la estructura de cuatro columnas.

Espectro de pseudo-aceleraciones con ξ = 5 %: Sa sube de 0,2 g en T = 0 a 0,4 g en T = 0,1 s, se mantiene en 0,4 g hasta 0,5 s, baja linealmente a 0,1 g en 0,8 s y sigue constante hasta 1,0 s — Figura 2. Espectro de pseudo-aceleraciones (ξ = 5 %).

Paso 1. Masa y rigidez lateral

m = W / g = 180 / 9,81 = 18,3486 ton·s²/m

En X trabajan 2 pórticos de 2 columnas, con vigas de L = 12,0 m:

E = 2 173 706,5 ton/m² · I_c = π · 0,60⁴ / 64 = 0,006362 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,60³ / 12 = 0,00540 m⁴

γ = (I_v/L) / (I_c/H) = (0,00540/12) / (0,006362/5) = 0,3537

k = 12 E I_c / H³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 1354,01 ton/m por pórtico

K = 2k = 2708,02 ton/m

Paso 2. Periodo

ω_n = √(2708,02 / 18,3486) = 12,149 rad/s → T = 0,5172 s

Paso 3. Lectura del espectro

La meseta de 0,4 g termina en T = 0,5 s; luego la ordenada baja linealmente hasta 0,1 g en T = 0,8 s, con pendiente (0,1 − 0,4)/(0,8 − 0,5) = −1 g/s. Como T = 0,5172 s ya pasó el final de la meseta, se interpola en la rama descendente:

S_a = 0,4 − 1,0 × (0,5172 − 0,5) = 0,3828 g = 3,755 m/s²

Si se redondea T a 0,5 s y se lee S_a = 0,4 g en la meseta, se obtiene F_R = 72,0 ton, un resultado algo conservador. La lectura exacta para T = 0,5172 s es 0,3828 g.

Paso 4. Desplazamiento espectral y fuerza restitutiva

S_d = S_a / ω_n² = 3,755 / 12,149² = 25,44 mm

F_R = K · S_d = (S_a/g) · W = 0,3828 × 180 = 68,90 ton

Paso 5. Cortante y momentos en cada columna

Las 4 columnas son iguales, así que cada una toma un cuarto de la fuerza restitutiva:

V = F_R / 4 = 17,23 ton

Con viga flexible, el giro del nudo superior y los momentos se obtienen con el método de rigidez:

EI = 2 173 706,5 × 0,006362 = 13 828,5 ton·m² · θ = −3/(3γ + 2) · (S_d/H) = −0,00499 rad

M_sup = (6EI/H²) S_d + (4EI/H) θ = 29,27 ton·m

M_inf = (6EI/H²) S_d + (2EI/H) θ = 56,86 ton·m

Comprobación: M_sup + M_inf = 86,13 ton·m ≈ V · H = 17,23 × 5,0. La viga es poco rígida frente a la columna (γ = 0,35), por eso el momento se concentra en la base.

Resultado

Rigidez K = 2708,0 ton/m; periodo T = 0,517 s
Pseudo-aceleración: S_a = 0,383 g; desplazamiento espectral S_d = 25,44 mm
Fuerza restitutiva: F_R = 68,9 ton
Por columna: V = 17,23 ton; M_sup = 29,3 ton·m y M_inf = 56,9 ton·m

Errores comunes

Leer S_a en la meseta sin revisar si el periodo ya pasó su final (aquí T = 0,517 s > 0,5 s).
Calcular S_d con S_a en g: antes de dividir entre ω_n² hay que pasarla a m/s² (0,3828 × 9,81).
Repartir la fuerza restitutiva entre 2 columnas en lugar de 4: los dos pórticos en X tienen 2 columnas cada uno.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.

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