Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Ecuación de movimiento de una estructura de muros de albañilería

Enunciado

Desarrolla la ecuación que controla el movimiento en la dirección X de una estructura de 1 nivel en vibración libre sin amortiguamiento. Los muros son de albañilería de ladrillo sólido (sin columnas), en aparejo de cabeza (e = 0,25 m), con f'm = 65 kg/cm² y E_m = 500 f'm. La altura de los muros es H = 2,40 m. El techo es una losa aligerada de t = 0,20 m (300 kg/m²) con vigas de borde de 0,25 × 0,20 m en todo el perímetro. Piso terminado 100 kg/m² y sobrecarga 100 kg/m² (25 % en el peso sísmico). En el metrado ignora el peso de ventanas y puertas.

Longitudes de muro: L_m1 = L_m3 = 1,80 m; L_m2 = L_m4 = 3,50 m; L_m5 = L_m6 = 2,25 m. Dimensiones totales en planta: 7,30 × 4,75 m (paño de losa de 6,80 × 4,25 m).

Calcula: a) la masa total; b) la rigidez lateral en la dirección X (flexión y corte); c) la ecuación de movimiento m·ü + K·u = 0 y el periodo.

Planta de 7,30 × 4,75 m con muros Lm1 a Lm6 de 0,25 m de espesor y vigas de borde; elevación de los ejes 1 y 2 con muros de 1,80 m y 3,50 m separados por un tabique aislado de 2,00 m, altura 2,40 m — Figura 1. Planta de muros y elevación de los ejes 1 y 2.

Paso 1. Datos

E_m = 500 × 65 = 32 500 kg/cm² = 325 000 ton/m² · G_m = 0,4 E_m = 130 000 ton/m²

Peso específico de la albañilería: 1,8 ton/m³. Longitud total de muros:

ΣL_m = 1,80 + 3,50 + 1,80 + 3,50 + 2,25 + 2,25 = 15,10 m → área en planta = 15,10 × 0,25 = 3,775 m²

El tabique central de 2,00 m está aislado y no se considera ni en la rigidez ni en el metrado.

Paso 2. Metrado de cargas y masa

Elemento	Cálculo	Peso (ton)
Losa aligerada	`6,80 × 4,25 × 0,300`	8,670
Piso terminado	`(7,30 × 4,75 − 3,775) × 0,100`	3,090
Vigas de borde	`(7,30 × 4,75 − 6,80 × 4,25) × 0,20 × 2,4`	2,772
Muros de albañilería	`(2,40/2) × 3,775 × 1,8`	8,154
Carga muerta P_D		22,686
Carga viva (s/c)	`7,30 × 4,75 × 0,100`	3,467
P = P_D + 25 % P_L = 22,686 + 0,25 × 3,467		23,553

m = P / g = 23,553 / 9,81 = 2,4009 ton·s²/m

Se incluye el 25 % de la sobrecarga en el peso sísmico, tal como indica el enunciado. Los muros se metran con su longitud L_m y la mitad de su altura, sin descontar ni sumar vanos.

Paso 3. Rigidez de cada muro

Cada muro trabaja como un voladizo de sección rectangular con deformación por flexión y por corte (G = 0,4E):

K = 1 / [h³/(3EI) + 1,2h/(GA)] = E_m t / [4(h/L)³ + 3(h/L)]

Muro L = 1,80 m: h/L = 1,3333 → K = 325 000 × 0,25 / [4(1,3333)³ + 3(1,3333)] = 6026,8 ton/m

Muro L = 3,50 m: h/L = 0,6857 → K = 81 250 / [4(0,6857)³ + 3(0,6857)] = 24 276,6 ton/m

Paso 4. Rigidez lateral en X

Los muros de un mismo eje trabajan en paralelo, porque el diafragma de la losa les impone el mismo desplazamiento; los ejes 1 y 2 también se suman en paralelo. Los muros L_m5 y L_m6 son perpendiculares a X y no aportan.

K_X = 2 × (6026,8 + 24 276,6) = 60 606,8 ton/m

Paso 5. Ecuación de movimiento y periodo

2,401 ü + 60 606,8 u = 0 ⇔ ü + 25 243,3 u = 0

ω_n = √(60 606,8 / 2,401) = 158,88 rad/s → T_X = 2π / ω_n = 0,0395 s

Resultado

Masa: m = 2,401 ton·s²/m
Rigidez en X: K_X = 60 607 ton/m
Ecuación de movimiento: 2,401 ü + 60 606,8 u = 0
Periodo: T_X = 0,040 s

Errores comunes

Calcular la rigidez del muro solo por flexión (3EI/h³): en muros cortos y robustos la deformación por corte es importante y no se puede omitir.
Sumar los muros perpendiculares al sismo (L_m5 y L_m6): su rigidez en el plano X es despreciable.
Incluir el tabique aislado en la rigidez: al estar separado con material flexible no toma fuerza lateral.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.
Ministerio de Vivienda, Construcción y Saneamiento. Reglamento Nacional de Edificaciones, Norma E.030 Diseño Sismorresistente.

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