Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Estructura de cuatro columnas circulares: periodo, amortiguamiento y resonancia

Enunciado

En la parte central de un parque hay una estructura de 4 columnas circulares de concreto armado (f'c = 210 kg/cm²) de φ = 0,50 m, empotradas en la cimentación y conectadas por vigas de 0,30 × 0,80 m. Las columnas forman un cuadrado de 12,0 m de lado (eje a eje). Peso estimado W = 80 ton; altura H = 6,0 m al eje de las vigas. ζ = 5 %. Analizando la estructura en la dirección X, calcula:

a) el periodo de vibración; b) si una fuerza horizontal produce un desplazamiento de 15 mm, ¿en cuánto tiempo la amplitud se reduce a 1 mm?; c) el amortiguamiento crítico c_cr y el amortiguamiento del sistema c; d) la frecuencia angular de una fuerza armónica horizontal (al nivel de la losa) que produciría resonancia.

Elevación de una losa de W = 80 ton sobre cuatro columnas circulares de altura H; planta circular de 22,0 m de diámetro con las cuatro columnas en un cuadrado de 12,0 m de lado unidas por vigas — Figura 1. Elevación y planta de la estructura de cuatro columnas.

Paso 1. Masa

m = W / g = 80 / 9,81 = 8,1549 ton·s²/m

Paso 2. Rigidez lateral en X

En X trabajan 2 pórticos, cada uno con 2 columnas y 1 viga de L = 12,0 m. La sección circular tiene la misma inercia en cualquier dirección; en la viga, el peralte es 0,80 m:

E = 2 173 706,5 ton/m² · I_c = π · 0,50⁴ / 64 = 0,003068 m⁴ · I_v = 0,30 × 0,80³ / 12 = 0,01280 m⁴

γ = (I_v/L) / (I_c/H) = (0,01280/12,0) / (0,003068/6,0) = 2,0861

k = 12 E I_c / H³ · (6γ + 1)/(3γ + 2) = 606,39 ton/m por pórtico

K = 2k = 1212,79 ton/m

Paso 3. Periodo

ω_n = √(1212,79 / 8,1549) = 12,195 rad/s → T = 2π / ω_n = 0,5152 s

Paso 4. Tiempo para pasar de 15 mm a 1 mm

Con δ ≈ 2πζ, el número de ciclos es j = ln(u₀/u_j) / δ y el tiempo es t = j · T:

δ = 2π × 0,05 = 0,31416

j = ln(15/1) / δ = 2,7081 / 0,31416 = 8,620 ciclos

t = j · T = 8,620 × 0,5152 = 4,441 s

Paso 5. Amortiguamiento crítico y del sistema

c_cr = 2K / ω_n = 2 × 1212,79 / 12,195 = 198,90 ton·s/m

c = ζ · c_cr = 0,05 × 198,90 = 9,945 ton·s/m

Paso 6. Frecuencia de resonancia

La resonancia ocurre cuando la frecuencia de la carga coincide con la frecuencia natural (r = 1):

Ω = ω_n = 12,195 rad/s

Resultado

Masa m = 8,155 ton·s²/m; rigidez K = 1212,8 ton/m
Periodo: T = 0,515 s
De 15 mm a 1 mm: t = 4,44 s (8,62 ciclos)
c_cr = 198,9 ton·s/m; c = 9,94 ton·s/m
Resonancia: Ω = 12,19 rad/s

Errores comunes

Calcular la inercia circular con π · D⁴/32 (momento polar): para flexión es π · D⁴/64.
Contar las 4 columnas como un solo pórtico: en X hay 2 pórticos de 2 columnas, y la rigidez total es la suma de ambos.
Usar el logaritmo decimal en el decremento logarítmico: j = ln(u₀/u_j) / δ usa logaritmo natural.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.

Ver más ejercicios