Cálculo I · Nivel básico
Canal rectangular de área máxima
Enunciado
Se tiene una plancha metálica de 3 m de ancho. Se doblan hacia arriba sus dos bordes, en ángulo recto, para formar un canal abierto de sección rectangular. ¿Qué altura deben tener las paredes para que el área de la sección transversal sea la máxima posible? ¿Cuánto vale esa área?
Paso 1. Plantear la función área
Si cada pared mide x metros, con las dos paredes se usan 2x metros de plancha. Lo que queda para el fondo es 3 − 2x. El área de la sección es base por altura:
A(x) = x · (3 − 2x) = 3x − 2x²
El dominio físico es 0 < x < 1,5 m, porque el fondo no puede tener ancho negativo.
Paso 2. Derivar e igualar a cero
A′(x) = 3 − 4x = 0 → x = 0,75 m
Paso 3. Verificar que es un máximo
A″(x) = −4 < 0
La segunda derivada es negativa, así que en x = 0,75 m la función tiene un máximo. Además, en los extremos del dominio (x = 0 y x = 1,5) el área vale cero.
Paso 4. Calcular las dimensiones y el área
Fondo: b = 3 − 2(0,75) = 1,50 m
A = 0,75 · 1,50 = 1,125 m²
Resultado
- Altura de las paredes: x = 0,75 m
- Ancho del fondo: b = 1,50 m
- Área máxima: A = 1,125 m²
Para qué sirve en ingeniería civil
El resultado muestra que la mejor sección rectangular tiene un fondo igual al doble de la altura (b = 2y). En hidráulica de canales esta es la sección de máxima eficiencia hidráulica: para un área dada tiene el menor perímetro mojado, y por eso conduce más caudal con menos material de revestimiento.
Errores comunes
- Tomar todo el ancho de 3 m como fondo, sin restar lo que se usa en las paredes.
- Hallar x = 0,75 y no comprobar que es un máximo y no un mínimo.
- Responder solo x y olvidar que la pregunta también pide el área.
Bibliografía de consulta
- Stewart, J. Cálculo de una variable: trascendentes tempranas. Cengage Learning.
- Chow, V. T. Hidráulica de canales abiertos. McGraw-Hill.