Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio

Barra y resorte en serie: vibración libre amortiguada

Enunciado

Una barra de acero (I = 3,80 in⁴, E = 29 000 ksi), apoyada en sus dos extremos, soporta en un punto un resorte de rigidez k = 200 kip/in conectado a una masa M de peso W = 500 kips. Las distancias medidas desde los apoyos son a = 4,00 m (arriba) y b = 0,80 m (abajo); la masa se mueve horizontalmente (g = 386,22 in/s²). Se sabe experimentalmente que la amplitud decrece hasta el 20 % de la inicial en 12 ciclos, y que las condiciones iniciales son u(0) = 0 y u̇(0) = 1,25 in/s.

Calcula: a) la rigidez de la barra k_barra (flexión en el punto de unión) y la rigidez total del sistema; b) la masa, ω_n y T_n; c) la fracción de amortiguamiento ζ; d) el desplazamiento de la masa en t = 2 s.

Barra vertical apoyada en sus extremos con un resorte k unido a 4,00 m del apoyo superior y a 0,80 m del inferior, que conecta horizontalmente con la masa M — Figura 1. Barra simplemente apoyada y resorte en serie con la masa.

Paso 1. Conversión de unidades

Como E está en ksi e I en in⁴, todas las longitudes se pasan a pulgadas (1 m = 39,37 in) antes de calcular:

a = 4,00 × 39,37 = 157,48 in · b = 0,80 × 39,37 = 31,496 in · L = a + b = 188,976 in

Paso 2. Rigidez de la barra y rigidez total

Para una viga simplemente apoyada con carga puntual a distancias a y b de los apoyos, la flecha bajo la carga es δ = P·a²b²/(3EIL), de modo que:

k_barra = 3EIL / (a²b²) = 3 × 29 000 × 3,80 × 188,976 / (157,48² × 31,496²) = 2,5395 kip/in

La barra y el resorte transmiten la misma fuerza y sus deformaciones se suman: trabajan en serie.

k_total = 1 / (1/2,5395 + 1/200) = 2,5077 kip/in

El resorte es mucho más rígido que la barra, así que la rigidez total queda casi igual a la de la barra.

Paso 3. Masa, frecuencia y periodo

m = W / g = 500 / 386,22 = 1,2946 kip·s²/in

ω_n = √(k/m) = √(2,5077 / 1,2946) = 1,3918 rad/s

T_n = 2π / ω_n = 4,515 s

Paso 4. Fracción de amortiguamiento

Con el decremento logarítmico, si la amplitud baja al 20 % en j = 12 ciclos:

δ = (1/j) · ln(u₁/u_j+1) = (1/12) · ln(1/0,20) = 0,13412

ζ ≈ δ / (2π) = 0,02135 (2,13 %)

ω_D = ω_n √(1 − ζ²) = 1,39145 rad/s

Paso 5. Desplazamiento en t = 2 s

La respuesta libre amortiguada es:

u(t) = e^−ζω_nt · [u(0) cos ω_Dt + (u̇(0) + ζω_nu(0))/ω_D · sen ω_Dt]

Como u(0) = 0, queda u(t) = e^−ζω_nt · (u̇(0)/ω_D) · sen ω_Dt. Con la calculadora en radianes:

e^{−0,02135 × 1,3918 × 2} = 0,94231 · u̇(0)/ω_D = 1,25 / 1,39145 = 0,89834 in · sen(2,7829) = 0,35105

u(2 s) = 0,94231 × 0,89834 × 0,35105 = 0,2972 in

Resultado

Rigidez de la barra: k_barra = 2,539 kip/in; rigidez total: k = 2,508 kip/in
Masa: m = 1,2946 kip·s²/in; ω_n = 1,392 rad/s; T_n = 4,515 s
Amortiguamiento: ζ = 2,13 %
Desplazamiento: u(2 s) = 0,2972 in

Errores comunes

Sumar las rigideces de la barra y del resorte: están en serie, así que se suman sus flexibilidades (1/k).
Calcular con a y b en metros mientras E está en ksi: hay que convertir a pulgadas antes de aplicar 3EIL/(a²b²) y usar g = 386,22 in/s².
Evaluar sen(ω_Dt) con la calculadora en grados: el argumento está en radianes.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural: teoría y cálculo. Reverté.

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