Ingeniería sismorresistente · Nivel intermedio
Barra y resorte: desplazamiento de la masa en t = 1 s
Enunciado
Una masa M está unida por un resorte de k = 100 kip/in a una barra W250×167 (I = 98,2 in⁴, E = 29 000 ksi) simplemente apoyada en sus extremos. El resorte se conecta a la barra a una distancia a = 1,00 m de un apoyo y b = 5,00 m del otro. Las condiciones iniciales son u(0) = 0 in y u̇(0) = 0,75 in/s. Se determinó experimentalmente que la amplitud decreció hasta 0,25 A en 10 ciclos. El peso es W = 500 kips (g = 32,2 ft/s² = 386,4 in/s²).
Determina: a) la masa M y la rigidez total del sistema (barra y resorte en serie); b) la frecuencia natural ωn y el factor de amortiguamiento ζ; c) el desplazamiento de la masa en t = 1 s.
Paso 1. Masa
M = W / g = 500 / (32,2 × 12) = 500 / 386,4 = 1,2940 kip·s²/in
Paso 2. Rigidez de la barra
La barra trabaja como una viga simplemente apoyada con una carga puntual a la distancia a de un apoyo. Su flecha bajo la carga es δ = P a² b² / (3 E I L), de modo que su rigidez es:
kbarra = 3 E I L / (a² b²)
Se convierten las distancias a pulgadas:
a = 100 / 2,54 = 39,37 in · b = 500 / 2,54 = 196,85 in · L = a + b = 236,22 in
kbarra = 3 × 29 000 × 98,2 × 236,22 / (39,37² × 196,85²) = 33,600 kip/in
Se usa I = 98,2 in⁴, que es el dato del enunciado, y no el momento de inercia de tablas del perfil W250×167.
Paso 3. Rigidez total (barra y resorte en serie)
La fuerza que llega a la masa pasa primero por el resorte y luego por la barra: ambos elementos soportan la misma fuerza y sus deformaciones se suman. Es un sistema en serie:
k = 1 / (1/kbarra + 1/kresorte) = 1 / (1/33,600 + 1/100) = 25,150 kip/in
Paso 4. Frecuencia natural y amortiguamiento
ωn = √(k / M) = √(25,150 / 1,2940) = 4,4086 rad/s
Con el decremento logarítmico medido en j = 10 ciclos, donde la amplitud pasa de A a 0,25 A:
δ = (1/j) · ln(u0 / uj) = (1/10) · ln(1 / 0,25) = 0,13863
ζ = δ / 2π = 0,13863 / 2π = 0,02206 (2,21 %)
ωD = ωn √(1 − ζ²) = 4,4086 × √(1 − 0,02206²) = 4,4075 rad/s
Paso 5. Desplazamiento en t = 1 s
La respuesta en vibración libre amortiguada es:
u(t) = e−ζωnt [u0 cos ωDt + (u̇0 + ζωnu0)/ωD · sen ωDt]
Como u(0) = 0, solo queda el término de la velocidad inicial:
u(t) = e−ζωnt · (u̇0 / ωD) · sen ωDt
e−0,02206 × 4,4086 × 1 = 0,90731 · u̇0/ωD = 0,75 / 4,4075 = 0,17016 · sen(4,4075 rad) = −0,95389
u(1) = 0,90731 × 0,17016 × (−0,95389) = −0,1473 in
El ángulo ωDt = 4,41 rad está en el tercer cuadrante, por eso el seno es negativo: en t = 1 s la masa se encuentra del lado negativo de su posición de equilibrio.
Resultado
- Masa: M = 1,294 kip·s²/in
- Rigidez de la barra: kbarra = 33,60 kip/in → rigidez total en serie: k = 25,15 kip/in
- Frecuencia natural: ωn = 4,409 rad/s; amortiguamiento: ζ = 2,21 %
- Desplazamiento: u(1 s) = −0,1473 in
Errores comunes
- Sumar directamente la rigidez de la barra y la del resorte: están en serie, así que se suman sus inversos.
- Usar g = 32,2 ft/s² con rigideces en kip/in: hay que pasar g a 386,4 in/s² para que la masa quede en kip·s²/in.
- Evaluar sen(ωDt) con la calculadora en grados: el argumento está en radianes.
Bibliografía de consulta
- Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
- Paz, M. Dinámica estructural. Reverté.