Ingeniería sismorresistente · Nivel avanzado

Análisis modal de un edificio de dos niveles

Enunciado

Edificación aporticada de 2 niveles analizada en la dirección S-X. Pesos de los niveles: W₁ = 131,30 ton y W₂ = 103,41 ton. Matriz de rigidez lateral (ton/m):

[K_L,X] = [ 67 955,37 −38 337,04 ; −38 337,04 30 550,36 ]

Calcula: a) el periodo del modo fundamental y su vector de forma de modo; b) el periodo y el vector de forma del modo 2; c) adicionalmente, los modos normalizados respecto a la masa y los factores de participación Γ_i.

Pórtico de dos niveles empotrado en la base, con pesos W1 y W2 en las losas y desplazamientos laterales u1 y u2 en la dirección S-X — Figura 1. Modelo de dos grados de libertad en la dirección S-X.

Paso 1. Matriz de masas

m₁ = 131,30 / 9,81 = 13,3843 ton·s²/m · m₂ = 103,41 / 9,81 = 10,5413 ton·s²/m

[M] = diag(13,3843; 10,5413)

Paso 2. Problema de valores propios

Las frecuencias se obtienen de |K − λM| = 0, con λ = ω²:

(67 955,37 − 13,3843 λ)(30 550,36 − 10,5413 λ) − 38 337,04² = 0

141,0877 λ² − 1 125 232,12 λ + 606 332 381,5 = 0

λ₁ = 581,21 · λ₂ = 7394,20

Paso 3. Modo 1 (fundamental)

ω₁ = √581,21 = 24,108 rad/s → T₁ = 2π / ω₁ = 0,2606 s

Con X₁₁ = 1, la primera ecuación del sistema da la amplitud del segundo nivel:

(K₁₁ − λ₁ m₁) · 1 + K₁₂ · X₂₁ = 0 → X₂₁ = −60 176,33 / (−38 337,04) = 1,5697

φ₁ = { 1,000 ; 1,5697 }

Ambos niveles se desplazan en el mismo sentido y el techo se mueve más que el primer piso.

Paso 4. Modo 2

ω₂ = √7394,20 = 85,990 rad/s → T₂ = 0,0731 s

X₂₂ = −(−31 010,85) / (−38 337,04) = −0,8089 → φ₂ = { 1,000 ; −0,8089 }

En el segundo modo el segundo nivel se mueve en sentido contrario al primero.

Paso 5. Normalización y factores de participación

Masa generalizada de cada modo, M_gen = φ^TMφ, y modo normalizado Φ = φ / √M_gen:

M_gen,1 = 13,3843 × 1² + 10,5413 × 1,5697² = 39,356 → Φ₁ = { 0,1594 ; 0,2502 }

M_gen,2 = 13,3843 × 1² + 10,5413 × 0,8089² = 20,282 → Φ₂ = { 0,2220 ; −0,1796 }

Factor de participación, Γ_i = Φ_i^T · M · {1; 1}:

Γ₁ = 13,3843 × 0,1594 + 10,5413 × 0,2502 = 4,771

Γ₂ = 13,3843 × 0,2220 − 10,5413 × 0,1796 = 1,079

Modo	T (s)	Γ	Masa efectiva Γ² (ton·s²/m)	% de la masa total
1	0,2606	4,771	22,76	95,1
2	0,0731	1,079	1,16	4,9
Masa total m₁ + m₂			23,93	100,0

El modo fundamental moviliza el 95 % de la masa, por eso domina la respuesta sísmica del edificio.

Resultado

Modo 1: λ₁ = 581,21 → T₁ = 0,2606 s, φ₁ = {1; 1,5697}
Modo 2: λ₂ = 7394,20 → T₂ = 0,0731 s, φ₂ = {1; −0,8089}
Factores de participación: Γ₁ = 4,771 y Γ₂ = 1,079

Errores comunes

Usar los pesos en lugar de las masas en [M]: hay que dividir entre g = 9,81 m/s² antes de plantear el determinante.
Tomar λ como la frecuencia: λ = ω², por lo que T = 2π/√λ.
Normalizar el modo dividiéndolo entre su mayor componente y luego usarlo para calcular Γ: los factores de participación requieren el modo normalizado respecto a la masa.

Bibliografía de consulta

Chopra, A. K. Dinámica de estructuras. Pearson.
Paz, M. Dinámica estructural: teoría y cálculo. Reverté.

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