Matemática básica · Nivel básico
Altura de un edificio con dos ángulos de elevación
Enunciado
Un topógrafo mide con un teodolito el ángulo de elevación hasta la azotea de un edificio y obtiene 30°. Avanza 20 m en línea recta hacia el edificio y vuelve a medir: ahora el ángulo es 45°. El anteojo del teodolito está a 1,50 m sobre el suelo y el terreno es horizontal. ¿Cuál es la altura del edificio?
Datos
- Ángulo de elevación desde A: 30°.
- Ángulo de elevación desde B: 45°.
- Distancia entre A y B: 20 m.
- Altura del instrumento: 1,50 m.
Paso 1. Definir las incógnitas
Llamamos h a la altura del edificio medida desde la línea del anteojo (la línea punteada) y d a la distancia horizontal desde B hasta el edificio. Así quedan dos triángulos rectángulos que comparten el cateto h.
Paso 2. Triángulo desde B (45°)
tan 45° = h / d → h = d · tan 45° = d
Paso 3. Triángulo desde A (30°)
Desde A, la distancia horizontal al edificio es d + 20:
tan 30° = h / (d + 20) → h = (d + 20) · tan 30°
Paso 4. Igualar y despejar
Como h = d, reemplazamos en la segunda ecuación. Usamos tan 30° = 1/√3:
d = (d + 20) / √3 → d · √3 = d + 20 → d (√3 − 1) = 20
d = 20 / (√3 − 1) = 10 (√3 + 1) ≈ 27,32 m
Entonces h = d ≈ 27,32 m sobre la línea del instrumento.
Paso 5. Sumar la altura del instrumento
H = h + 1,50 = 27,32 + 1,50 = 28,82 m
Paso 6. Comprobación
Desde A la distancia horizontal es 27,32 + 20 = 47,32 m. Debe cumplirse tan 30° = 27,32 / 47,32 = 0,5774, que es justamente el valor de tan 30° ✓.
Resultado
- Distancia de B al edificio: d ≈ 27,32 m
- Altura del edificio: H ≈ 28,82 m
Errores comunes
- Olvidar sumar la altura del instrumento: el ángulo se mide desde el anteojo, no desde el suelo.
- Usar 20 m como distancia horizontal desde A: desde A la distancia es d + 20.
- Tener la calculadora en radianes en vez de grados.
Bibliografía de consulta
- Swokowski, E. W. y Cole, J. A. Álgebra y trigonometría con geometría analítica. Cengage Learning.
- Torres, Á. y Villate, E. Topografía. Escuela Colombiana de Ingeniería.